Soal Matematika Nama : Sukma Purworini Cm

Nama : SUKMA PURWORINI CM

Kelas : Mat 2008/E

NIM : 095322

PERBAIKKAN UTS DAN UA

  1. SelesaikanpersamaanDiferensialdari :

Jawaban

  • BentukpersamaanDifferensialadalah

( y2 – 2x ) dy + (x – 2y ) dx = 0

  • ApakahpersamaanDifferensialdiatasadalahpersamaanDifferensialEksak ?

    • N (x.y ) = ( y2 – 2x ) adalah M (x.y ) = (x – 2y )

      • Mencari F

F (x.y ) =

F (x.y ) =

F (x.y ) =

Sehingga :

-2x + = y2 – 2x

Masing-masingrusak + 2x, sehinggadiperoleh

-2x ++ 2x = y2 2x + 2x

Integralkan , sehingga diperoleh

C ( y ) =

F ( y ) =

Jadisolusiumum dari PersamaanDifferensialadalah :

F ( x.y ) =

Karenakondisiawal y (0) = 3 ,maka

F ( x.y ) =

=

= 9 + c

= – 9

Makadidapatsolusikhususyaitu :

  1. Selesaikan

Penyelesaian ,Bentuk. Dan karena berdasarkan definisi maka :

Kedua ruas diintegralkan

Sehingga diperoleh :

,

maka kita peroleh persamaan umumnya :

y = In (2 sin x + c )

  1. Selesaikan,

PenyelesaianBentuk,

Berdasarkan definisi maka ,

Integralkan kebua ruas maka

JadiPenyelesaian dari adalah

  1. Selesaikan (x + e-x sin y )dx – ( y + e-x cos y ) dy = 0

Penyelesaian :

  • Bentukpersamaandifferensialadalah

(x + exsin y) dx + (y + excos y) dy = 0

  • Apakahpersamaandifferensialeksak

dan

dan

Karena maka persamaan diatas adalah Persamaan differensial eksak.

  • Mencari F

F (x,y) = dx + c (x)

= dx + c (x)

= + c (x)

= + c (x)

  • Sehingga : N (x,y)

– y ex cos y

ex cos y + = – y ex cos y

= – y

Integralkankedua ruas, sehinggadiperoleh :

c (x) = dy

= – + c

Jadi solusi umum dari persamaan differensial adalah

F (x.y) =

  1. Diberikan persamaan Differensial

( 4x2+ 2xy + 2y ) dx + ( 2x2 + x + 2y ) dx =0

Carilah faktor Integral dari persamaan differensial non rksak tersebut serta solusi umumnya !

  1. Selidiki ke eksakannya

  1. Cari faktor Integral dengan rumus

M (x) = e x p

= e x p

= e x p

= e x p

= e x p

= e ln

  1. Mengalihkan Integral faktor dengan PD non eksak sehingga diperoleh

( x + y )( 4x2+ 2xy + 2y ) dx + ( x + y )( 2x2 + x + 3y ) dy = 0

(4x3 + 2x2y + 2xy +4x2 + 2xy2 + 2y2) dx + (2x3 + x2 + 3xy +2x2y+ xy + 3y2)dy = 0

(4x3 + 6x2y + 2xy2 +2xy + 2y2) dx + (2x3 + x2 + 4xy +2x2y+ 3y2) dy = 0..

  1. Apakahpersamaandifferensial () adalahpersamaanDifferensialEksak ?

  • Karena :

    Maka Persamaan Difeerensial * adalah persamaan Defferensial Eksak

  • Mencari F ( x,y ) adalah

F ( x,y ) =

=

=

=

Sehingga :

C( y ) = 3y2

Integral masing-masingruas, sehinggadiperoleh

C (y) =

C (y) = y3 + c

Makasolusiumum dari persamaandifferensialadalah

F (x,y) = x4 + 2x3y + x2y2 + x2y + 2xy2 + y3 + c = 0

  1. Selesaikan

Jadi persamaan diatas merupakan persamaan differensial homogen, misalnya

Maka diperoleh :

Kita Integralkan kedua ruas persamaan diatas sehingga kita perolah

Makakitaperoleh : cx = ( * )

Subtitusikan z = ke persamaan ( * ). Sehingga doperoleh : cx =

Dan kitaperoleh : y =

  1. Banyaknyabakteripadasuatuwaktutumbuhandalam rata-rata yang proporsionaldenganbanyaknyabakterisaatsekarang. Jikapopulasi dari bakteridalamsuatubanyaknyadua kali lipatdalamwaktusatu jam. Temuakanbanyaknyabakteridalam 3,5 jam.

Jawab : Misalkan x adalahbanyaknyabakteripadasuatuwaktu t Maka model matematikaadalah

Dimana K adalahkonstantaproporsional. Dan solusi dari persamaandifferinsialpertumbuhanbakterixt = xoexp( kt )

Misaluntuksaat t = 0 banyaknyabakteriawal x = 100, makakita akan dapatkan

x ( t ) = 100 exp ( kt ) padawaktu t = 1 Jumlahbakterimenjadi 2 kali lipatmaka

200 = x ( 1 ) = 100 exp ( k ) k = In ( z ) dan kitaperolehperkiraanbanyaknyabakteri 3,5 jam yaitu ;

X ( 3.5 ) = 100 exp (3.5 In ( 2 ))

= 100 .( 23.5)

= 1131

  1. Selesaikan persamaan bernauli berikut : yl = x3y2 +xy

Penyelesaiaan

yl = x3y2 +xyyl + xy = x3y2

x3y2

x

= x3

Misalnya : v = -y I

.. ( persamaan 1)

Sehingga P ( x ) = -x

Q ( x )= x3

factor integral dari persamaan diatas

=

= x

Kalikan persamaan ( 1 ) dengan x sehingga :

  1. Selesaikan persamaan differensial bernauli berikut : yl + x-l y = xy2

Penyelesaian :

yl + x-l y = xy2

xy2

x

= x.. ( 1 )

Misalkan : v =y-1

-y-2

.. ( 2 )

Masing-masing Ruas padapersamaantersebutdikalikan -1 sehinggadiperoleh :

.. ( 3 )

Sehingga P ( x ) = -x-1

Q ( x )= -x

factor integral dari persamaan diatas

=

= x-1

Kalikan persamaan 3 dengan x-1 sehingga diperoleh :

karena v =maka :

Jadisolusiumumnya

10) Selesaikan persamaan differensial linear berikut y1 + y = x ; y (1) = 0

y1 + y = x

+ y = x .. (pers. 1)

Faktor integral dari pada diatas

e(x) dx = e dx

=

=

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan 1 dengan x2 sehingga diperoleh

x2 + x2 y = x, x2

d (x2 y) = x3

d (x2 y) dx = dx

x2 y = + C

y = + .. (pers. 2)

karenakondisiawal y (1) = 0, maka :

0 = +

0 = + C

C = –

Subtitusikan C pada pers.2, sehingga diperoleh :

y = +

y = –

y = -)

Jadisolusi dari persamaandiatasadalah : y = -)

11)Kapur barus terurai dengan rata-rata sebanding dengan banyaknya pada suatu ketika. Jika 100 gram menjadi 40 gram dalam 3 jam, bilamanakah akan tinggal 0,1 gram.

Jawab : kapur barus ini menyusut karena hukum pertumbuhan

x = cekt

Pada t0 = 0 jam x0 = 100 gram

Pada t1 = 3 jam x1 = 40 gram

Pada tp = t jam xp = 0,1 gram

Maka dari rumus x = cekt

Pada t0 = 0 jam x0 = 100 gram, diperoleh :

100 = ce0

100 = c … (1)

Pada t1 = 3 jam x1 = 40 gram diperoleh :

40 = cek3

40 = ce3k . (2)

Padatp = t jam xp = 0,1 gram diperoleh :

0,1 = cetk . (3)

Subtitusikan pers. 2 dengan pers. 1, maka diperoleh :

Ekuivalen dengan 3k = In (0,4) (4)

Subtitusi pers. 3 dengan pers. 1, maka diperoleh :

0,1 = 100 etk . (5)

tk = In (0,001)

Subtitusi pers. 4 ke 5

P = In (0,001)

t = 3 In (0,001) : In (0,4)

t = 22,53 jam

Jadi pada t = 22,53 jam kapur barus menyusut 0,1 gram

12) Sekelompok ragi berkembang dengan laju yang proporsional dengan ukurannya. Jika jumlah awal menjadi dua kali lipat dalam 2 jam. Dalam berapa jamkah jumlah itu akan menjadi tiga kali lipat :

Jawab : Perkembangan ragi ini berkembang karena memenuhi hukum pertumbuhan

x = cekt

Pada t0 = 0 jam x0 = x

Pada t1 = 2 jam x1 = 2x

Padatp = t jam xp = 3x

Maka dari rumus x = cekt

Pada t0 = 0 jam x0 = x, diperoleh :

x = cek0

x = c … (1)

Pada t1 = 3 jam x1 = 40 gram diperoleh :

2x = ce2k . (2)

Padatp = t jam xp = 0,1 gram diperoleh :

3x = ce3k . (3)

Mencari nilai k berarti masukan pers. 1 ke pers. 2

2x = x e2k

2 = e2k

2k = In 2

k = (4)

13. Selesaikan soal persamaan linear berikut

Penyelesaian :

X

..(1)

Factor integral daripersamaan diferensialtersebut

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1), sehingga diperoleh

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah

Subtitusikan pers.1 ke pers. 3

3x = x etk

3 = etk

tk = In 3

t = (4)

Ganti k dengan , sehingga diperoleh :

t = 2 In 3 : In 2

= 3,17 jam

Jadi jam yang diperlukan ragi untuk berkembang menjadi 3 kali lipat adalah 3,17 jam

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *