Pembahasan Soal Uraian Matematika

Pembahasan Soal Uraian Matematika OSN SMP 2009

PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA URAIAN

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP TK. KOTA/KAB

TAHUN 2009

BY DR-MATHS

 

Alhamdulilah Penulis menemukan soal OSN Matematika 2009 yang terselip dalam tumpukkan buku yang berserakan. Walaupun soal ini tahun 2009, akan tetapi menurut hemat penulis , soal OSN sangat menarik untuk dibahas, menuntut analisa peserta dalam menjawab, serta soal OSN bervariasi dari tahun ke tahun. Pembahasan ini semata-semata menurut pola pikir penulis ,akan tetapi tidak menutup kemungkinan anda memiliki langkah penyelesaian yang lebih singkat dan lebih baik. Harapan saya semoga peserta OSN sedikit terinspirasi dari pembahasan soal ini dalam menyelesaikan soal OSN lainnya.

Berikut ini adalah soal bagian B: Isian Singkat 10 Butir

 1.     Banyaknya bilangan genap yang kurang dari 1000 dan hasil kali angka-angka penyusunya 180 adalah ..

         Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !,  kemudian lihat pembahasannya.

        Karena bilangan tersebut kurang dari 1000, maka bilangan yang dimaksud terdiri dari tiga digit.

        Karena hasil kali angka-angkanya sama dengan 180, berarti Angka-angka bilangan yang dimaksud terdiri dari  angka-angka yang merupakan faktor dari 180. Yaitu 4, 5, 6, dan 9.

       Karena bilangan yang dimasud genap, maka angka satuaannya adalah 4 atau 6, sehingga bilangan-bilangan tersebut adalah 594 , 656, 566, dan 954.

      Jadi banyaknya bilangan genap yang kurang dari 1000 dan hasil kali angka-angka penyusunya  180 adalah 4 .

 2.     Luas persegi panjang ABCD adalah 112 satuan luas. Titik E dan F berada di diagonal AC seperti pada gambar di bawah ini sedemikian sehingga 3(AE + FC) = 4 EF. Luas segitiga DEF adalah satuan luas

  1.  

  2.  

  3.  

  4.  

 

 

 

 Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

Jawab :

Diketahui : 3(AE + FC) = 4 EF , atau    

Karena segitiga DAC dan segitiga DEF memiliki tinggi yang sama, maka

3.     Jika f(n) menyatakan banyak faktor bilangan asli n, maka f(f(f(2009))) = .

Lihat pembahasannya pada Daftar Isi Pembahasan Soal Latihan OSN. Atau Clik Disini saja !

4.     Rata-rata 15 bilangan adalah 0. Bila bilangan-bilangan v, w, x, y, dan z ditambahkan , maka rata-ratanya bertambah 5 . Rata-rata bilangan-bilangan yang ditambahkan adalah

        Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

        Sedikit konsep tentang rata-rata suatu data tunggal.

Rata-rata suatu data tunggal sama dengan jumlah data dibagi banyaknya data . Atau

Jumlah data sama dengan banyaknya data di kali rata-rata.

Dengan pernyataan terakhir tersebut, soal ini kita jawab.

maka ,

 

 Jadi, rata-rata bilangan-bilangan yang ditambahkan adalah 20.

 5.     Lantai suatu ruangan berbentuk persegi. Lantai tersebut akan dipasang keramik berbentuk persegi juga. Bila keramik yang terletak pada diagonalnya sebanyak 33, maka banyaknya keramik yang menutupi lantai adalah .

Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

Karena bentuk ruanganya dan keramiknya adalah persegi , maka ukuran ruangan tersebut yaitu 33 x 33.

 Sehingga banyaknya keramik yang menutupi lantai = luas ruangan tersebut = 33 x 33 = 1089.

 Catatan : Bilangan 1089 adalah bilangan kelipatan 9, yang cukup unik. InsyaAllah penulis akan membahas tentang bilangan ini, sehingga anda yang merasa aneh dengan bilangan ini tidak lagi terkagum-kagum atau terheran-heran dengan sajian-sajian seperti Joe Sandi seorang entertainment yang pandai mengemas bilangan menjadi permainan yang menghibur.

6.     Faisal memperoleh nomor antrian ke-2009 untuk menaiki bus antar kota dalam provinsi, dari kota Malang ke Surabaya. Bus berangkat setiap 5 menit dan setiap pemberangkatan , bus memuat 55 orang. Jika pemberangkatan pertama berangkat pukul 5.01 pagi, maka Faisal akan berangkat pada pukul

Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

Menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x .

Dengan demikian Faisal termasuk ke dalam kelompok pemberangkatan ke 37, karena 55 x 36 = 1980

Karena pemberangkatan pertama berangkat pukul 5.01, maka Faisal akan berangkat setelah 36 x 5 menit = 180 menit dari pukul 5.01.

Jadi Faisal akan berangkat pada pukul 5.01 + 180 menit = pukul 8.01

 

7.     Jumlah 2009 bilangan bulat berurutan sama dengan 6027, maka selisih bilangan terkecil dan terbesar sama dengan .

Jawab :

Karena bilangan bulat tersebut berurutan , maka dapat kita tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai :

n , n + 1, n + 2, n + 3, ., n + 2006, n + 2007 , n + 2008. Dengan n adalah bilangan bulat.

(n + 2008) n = 2008.

Jadi, selisih bilangan terkecil dan terbesar sama dengan 2008.

8.     Jika nilai ulangan siswa kelas VIII terdiri dari bilangan genap berurutan dengan nilai terendah=2, dan

Tertinggi=98, jangkauan interkuartil dari data tersebut adalah

Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.Data nilai ulangan tersebut dapat kita tulis sebagai berikut :

2, 4, 6, 8, 10, 12, ., 98 .

Misalkan banyaknya data nilai ulangan tersebut adalah n, dimana n adalah bilangan bulat positif. Dan

Barisan bilangan genap berurutan tersebut merupakan barisan Aritmetika dengan beda = 2.

Sehingga Rumus suku ke-n , atau Un= 2 n

  2 n = 98 , maka n = 49.

Letak data kuartil ke-1 atau Q1 adalah data ke 1/4 x 49 = data ke 12 1/4, sedangkan

Letak data kuartil ke-3 atau Q3 adalah data ke 3/4 x 49 = data ke 36 3/4.

 Nilai Q1 = data ke 12 + 1/4(data ke 13 data ke 12) = 24 + 1/4(26 24) = 24 + 1/2

Nilai Q3 = data ke 36 + 3/4(data ke 37 data ke 36) = 72 + 3/4(74 72) = 72 + 3/2 = 73 1/2

Jadi, jangkauan interkuartil dari data tersebut = Q3 Q1 = 73 1/2 24 1/2 = 49.

9.   Dua belas segi delapan beraturan dengan panjang sisi 2 cm disusun dalam sebuah persegi

Seperti gambar berikut :

 

 Luas persegi di atas sama dengan .

Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

Untuk memudahkan perhitungan kita beri nama persegi di atas seperti pada gambar berikut :

   Untuk menghitung luas persegi ABCD , kita harus mengetahui panjang sisi AB.

Perhatikan segitiga EAF siku-siku di A, maka berdasarkan teorema Pyhtagoras :

2 AE2 = EF2     (karena AE = AF )

 

Perhatikan segitiga GBH siku-siku di B, maka berdasarkan teorema Pyhtagoras :

2 BG2 = GH2     (karena BG = BH )

Panjang AB = AE + EG + BG

10.      Jumlah semua bilangan riil x yang memenuhi persamaan berikut adalah .

 

Jawab :

Silahkan kerjakan dulu !, kemudian lihat pembahasannya.

Soal tersebut dapat kita tulis ;

 

a3 + b3 = ( a + b )3

a3 + b3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 +b3

  3 a2b + 3 ab2 = 0

   a2b + ab2 = 0

 ab ( a + b ) = 0 , dipenuhi jika dan hanya jika

ab = 0    atau     (a + b)=0

Untuk ab = 0 , diperoleh ;

(5x 25) ((25)x 5) = 0

5x 25 = 0        atau    (25)x 5 = 0    

5x = 25             25x = 5    

5x= 52             52x = 5    

x = 2             2x = 1    atau x = 1/2    

Untuk a + b = 0 , diperoleh ;

5x 25 + (25)x 5 = 0 , atau

(25)x + 5x 30 = 0

52x + 5x 30 = 0    atau kita tulis

(5x)2 + 5x 30 = 0    ..*     ini bentuk persamaan kuadrat dalam 5x

Misalkan p = 5x , dengan p > 0 sehingga bentuk . * menjadi

P2 + p 30 = 0

( p +6 )( p 5 ) = 0 ,     dipenuhi jika     p 5 = 0 , sehingga diperoleh

                    5x 5 = 0

                     5x = 5

                     x = 1

Jadi, jumlah semua bilangan riil x yang memenuhi persamaan tersebut = 2 + 1 + 1/2 = 3 1/2

Pembahasan Soal OSN SMP Matematika Tingkat Kota Tahun 2009

  1. Jika f(n) adalah banyaknya factor (pembagi) bilangan Asli n , maka berapakah f(f(f(2009))) = ?

 Pembahasan :

        Lakukan pembagian 2009 dengan bilangan Prima , diperoleh bahwa 2009 = 72 . 41

        Bilangan 2009 dapat dinyatakan dalam bentuk 7a . 41b , dengan  a = 0, 1, 2  dan b = 0, 1.

        Banyaknya pasangan bilangan (a,b) sebanyak 3 x 2 = 6

        Jadi banyaknya factor (pembagi) dari 2009 adalah 6.

        Dengan demikian f(f(f(2009)))= f(f(6)) = f(4) = 3

        Penjelasan :       4 adalah banyaknya factor dari 6 , yaitu;  1, 2, 3, dan 6 .

                               3 adalah banyaknya factor (pembagi) dari 4 yaitu;  1, 2, dan 4

  1. Tentukan banyaknya factor-faktor (pembagi) dari 2010 !

 Pembahasan:

Lakukan pembagian 2010 dengan bilangan Prima, diperoleh bahwa 2010 = 2 . 3 . 5 . 67

Bilangan 2010 dapat dinyatakan dalam bentuk 2a.3b.5c.67d , dengan a = 0 ,1  b = 0 ,1  c = 0 ,1 dan d = 0 ,1.

Banyaknya pasangan (a,b,c,d) sebanyak = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 .

Jadi banyaknya factor-faktor (pembagi) dari 2010 adalah  16.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>