Oops! Something Went Wrong. Matematika Kedokteran Soal

SOAL MATEMATIKA

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah….

A. Rp 176.000,00

B. Rp 200.000,00

C. Rp 260.000,00

D. Rp 300.000,00

E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Membuat model matematika dari soal cerita di atas

Misal:

mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:

4x + 20 y 1760 disederhanakan menjadi

x + 5y 440…….(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:

x + y 200 …………..(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:

f(x, y) = 1000 x + 2000 y 

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2

Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,

Garis 1

x + 5y = 440

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 5(0) = 440

x = 440

Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + 5y = 440

y = 440/5 = 88

Dapat titik (0, 88)

Garis 2

x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 0 = 200

x = 200

Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + y = 200

y = 200

Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2

Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440 

x + y = 200 

____________ _

4y = 240

y = 60

x + y =200

x + 60 = 200

x = 140

Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

 

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:

Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah  ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0

Titik (200,0) f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000

Titik (0, 88) f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000

Titik (140,60) f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000 

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

Soal No. 2

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. 

 

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah….

A . 88

B. 94

C. 102

D. 106

E. 196

Pembahasan

Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

Cara pertama dalam membuat persamaan garis

y y1 = m (x x1)

dengan

m = y/x

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/12 = 5/3

y 20 = 5/3 (x 0)

y 20 = 5/3 x

y + 5/3 x = 20

3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :

m = 15/18 = 5/6

y 15 = 5/6 (x 0)

y + 5/6 x = 15

6y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan garis

bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:

6y + 5x = 90

3y + 5x = 60

_________ -

3y = 30

y = 10 

3(10) + 5x = 60

5x = 30

x = 6

Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y

Titik (0, 0) f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0

Titik (12,0) f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84

Titik (0, 15) f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90

Titik (6, 10) f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?

A. 6 jenis I

B. 12 jenis II

C. 6 jenis I dan 6 jenis II

D. 3 jenis I dan 9 jenis II

E. 9 jenis I dan 3 jenis II 

Pembahasan

Barang I akan dibuat sebanyak x unit

Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:

x + 3y 18

2x + 2y 24

Fungsi objektifnya:

f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong 

x + 3y = 18 |x2| 

2x + 2y = 24 |x 1| 

2x + 6y = 36

2x + 2y = 24

____________ _

4y = 12

y = 3

2x + 6(3) = 36

2x = 18

x = 9

Titik potong kedua garis (9, 3) 

Berikut grafik selengkapnya:

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0

Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000

Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 

Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

Soal No. 4

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah

A. Rp13.400.000,00

B. Rp12.600.000,00

C. Rp12.500.000,00

D. Rp10.400.000,00

E. Rp8.400.000,00

Pembahasan

 

Banyak sepeda maksimal 25 

 

Uang yang tersedia 42 juta 

 

Titik potong (i) dan (ii) 

 

 

Keuntungan 

 

Jawaban: A

Soal No. 5

Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah

A. Rp102.000,00

B. Rp96.000,00

C. Rp95.000,00

D. Rp92.000,00

E. Rp86.000,00

Pembahasan

Gorengan jadi x, bakwan jadi y 

 

Modelnya:

1000x + 400y 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i)

(i) 10x + 4y 2500

(ii) x + y 400

f(x,y) = 300x + 200y 

Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing: 

 

Grafik selengkapnya: 

 

Uji titik A, B, C 

 

Soal No. 6

Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y 7, x + y 5, x 0, dan y 0 adalah 

A. 14

B. 20

C. 23

D. 25

E. 35

Pembahasan

Langsung cari titik potongnya dulu:

2x + y = 7

x + y = 5

————

x = 2

y = 3

Dapat titik A (2, 3)

Berikut grafik selengkapnya: 

 

Uji titik

f(x, y) = 4x + 5y

A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23

B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20

C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35

Terlihat nilai minimumnya adalah 20.

Rumus Penyelesaian Persamaan

Trigonometri

 

Untuk sinus

Untuk kosinus

 

Untuk tangen

 

k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.

Contoh:

Soal No. 1

Untuk 0 x 360 tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2 

Pembahasan

Dari:

sin x = 1/2

Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30.

Sehingga

sin x = 1/2

sin x = sin 30

Dengan pola rumus yang pertama di atas: 

 

(i) x = 30 + k 360

k = 0 x = 30 + 0 = 30

k = 1 x = 30 + 360 = 390

(ii) x = (180 30) + k360

   x = 120 + k360            

x = 150 + k360

k = 0 x = 150 + 0 = 150

k = 1 x = 150 + 360 = 510

Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0 x 360, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:

HP = {30, 150} 

Soal No. 2

Untuk 0 x 360 tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2 

Pembahasan

1/2 adalah nilai cosinus dari 60. 

Sehingga 

cos x = cos 60 

 

(i) x = 60 + k 360

k = 0 x = 60 + 0 = 60

k = 1 x = 60 + 360 = 420

(ii) x = 60 + k360

x = 60 + k360

k = 0 x = 60 + 0 = 60 

k = 1 x = 60 + 360 = 300 

Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:

HP = {60, 300}

Soal No. 3

Untuk 0 x 720 tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x 30) = 1/2 3 

Pembahasan

1/2 3 miliknya sin 60

Sehingga 

sin (x 30) = sin 60

 

dan 

 

Untuk 0 x 720, HP = {90, 150, 450, 510}

Soal No. 4

Untuk 0 x 360 tentukan himpunan penyelesaian dari 

cos (x 30) = 1/2 2 

Pembahasan

Harga awal untuk 1/2 2 adalah 45

 

HP = {75, 345}

Soal No. 5

Himpunan penyelesaian persamaan:

cos 2x + sin x = 0 

untuk 0 < x 2 adalah…..

A. {/2, 4/3, 5/3}

B. {/2, 7/6, 4/3}

C. {/2, 7/6, 5/3}

D. {/2, 7/6, 11/6}

E. {/2, 5/3, 11/6}

Pembahasan

Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:

cos 2x = cos2 x sin2x

cos 2x = 2 cos2 x 1

cos 2x = 1 2 sin2 x

cos 2x + sin x = 0

1 2 sin2 x + sin x = 0

2 sin2 x + sin x + 1 = 0

2 sin2 x sin x 1 = 0

Faktorkan:

(2sin x + 1)(sin x 1) = 0

2sin x + 1 = 0

2sin x = 1

sin x = 1/2

x = 210 dan x = 330 

atau

sin x 1 = 0

sin x = 1

x = 90

Sehingga:

HP = {90, 210, 330} dalam satuan derajat.

HP = {/2, 7/6, 11/6} dalam satuan radian.

Jawaban : D. 

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 x 2 adalah

A. {2/3,4/3}

B. {4/3, 5/3}

C. {5/6, 7/6}

D. {5/6, 11/6}

E. {7/6, 11/6}

Pembahasan

Persamaan trigonometri:

Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 2sin2 x

 

Soal No. 7

Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2 adalah

A. {/6, 5/6}

B. {/6, 11/6}

C. {/3, 2/3}

D. {/3, 5/3}

E. {2/3, 4/3}

Pembahasan

2cos 2x 3 cos x + 1 = 0

Faktorkan:

(2cos x 1)(cos x 1) = 0

(2cos x 1) = 0

2cos x = 1

cos x = 1/2

x = 60 = /3 dan x = 300 = 5/3

atau

(cos x 1) = 0 cos x = 1

x = 0 dan x = 360 = 2 (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2) 

Jadi HP = {/3, 5/3}

Jawaban: D

Soal No. 8

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = 1 untuk 0 x 180 adalah

A. {150,165}

B. {120,150}

C. {105,165}

D. {30,165}

E. (15,105)

Pembahasan

Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:

cos 4x + 3 sin 2x = 1

Untuk faktor 

Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor 

Diperoleh 

Jadi HP = {105,165}

Soal No. 9

Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x 3 sin x + 1 = 0 dengan 0 x   360 adalah….

A. {30, 90, 150} 

B. {30, 120, 240}

C. {30, 120, 300}

D. {30, 150, 270}

E. {60, 120, 270}

(UN Matematika SMA IPA 2014)

Pembahasan

Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30 atau 90. Nilai  sin 30 adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.

Persamaan di soal:

2 sin2 x 3 sin x + 1 = ?

30   2 sin2 (30) 3 sin (30) + 1 = ?

= 2 (1/2)2  3 (1/2) + 1

= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)

Berikutnya coba 90, tentunya sudah tahu sin 90 = 1

2 sin2 x 3 sin x + 1 = ?

90 2 sin2 90 3 sin 90 + 1 = ?

= 2 (1)2  3 (1) + 1 

= 2 3 + 1 

= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90 jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150, tentunya kalau soalnya ndak error)

Soal No. 10

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x 2 sin x = 1; 0 x < 2 adalah….

A. {0, , 3/2, 2}

B. {0, , 4/3, 2}

C. {0, 2/3; , 2}

D. {0, , 2}

E. {0, , 3/2}

Pembahasan

Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 x < 2 , maka x tidak boleh memuat 2, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2 bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2 nya salah, hanya E yang tidak memuat 2. Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.

Soal No. 1

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola berwarna merah!

Pembahasan

Data:

Jumlah bola semuanya ada 8.

Jumlah bola warna merah ada 5.

Peluang terambilnya satu bola warna merah adalah:

P(1 bola merah) = 5/8 

Soal No. 2

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola berwarna putih! 

Pembahasan

Data:

Jumlah bola semuanya ada 8.

Jumlah bola warna putih ada 3.

Peluang terambilnya satu bola warna putih adalah:

P(1 bola putih) = 3/8 

Soal No. 3

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna merah! 

Pembahasan

Total jumlah bola ada 8.

Bola merah ada 5. Dikehendaki 2 bola terambil keduanya berwarna merah. 

Karena jumlah semua bola ada 8, maka jika diambil 2 buah bola, banyak cara pengambilannya ada: 

Karena jumlah bola merah ada 5, maka jika diambil 2 bola merah, banyak cara pengambilannya ada:

Sehingga peluang terambilnya keduanya  bola warna merah adalah: 

Soal No. 4

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna putih! 

Pembahasan

Jumlah semua bola ada 8

Bola putih ada 3

Dikehendaki 2 bola terambil keduanya putih 

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8 bola yang ada: 

- Banyak Cara pengambilan 2 bola warna putih dari 3 bola putih yang ada 

Sehingga peluang terambilnya dua bola keduanya putih adalah 

Soal No. 5

Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih. Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil itu adalah satu bola merah dan satu bola putih! 

Pembahasan

Jumlah bola total ada 8.

Bola merah ada 5, bola putih ada 3.

Dikehendaki yang terambil itu 1 merah dan 1 lagi putih.

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8 bola yang ada: 

- Banyak cara pengambilan 1 bola merah dari 5 bola merah dan 1 bola putih dari 3 bola putih ada 

Sehingga peluang yang terambil itu 1 bola merah dan 1 bola putih adalah 

Soal No. 6

Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah dan 1 bola warna kuning. Akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna merah dan 1 warna kuning adalah…

A. 3/100

B. 6/100

C. 3/120

D. 9/120

E. 4/5

(Peluang – Ebtanas 2001 – Kunci : C. 3/120) 

Soal No. 7

Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah…

A. 7/44

B. 10/44

C. 34/44

D. 35/44

E. 37/44

(Peluang – Soal ebtanas 1997 – Kunci : E. 37/44)

Soal No. 8

Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola berwarna merah dan 4 bola berwarna putih. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang terambil kedua bola berwarna merah jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian! 

Pembahasan

Data soal:

Kasus bola dalam satu kotak dengan beberapa kali pengambilan tanpa dikembalikan bola yang sudah terambil.

Di sini ada 6 bola merah dan 4 bola putih, jadi totalnya ada 10 buah bola.

Pengambilan Pertama

Peluang terambilnya 1 bola merah:

Bola merah 6, total bola ada 10.

P(A) = 6/10 

Pengambilan Kedua

Peluang terambilnya 1 bola merah :

Bola merah tinggal 5, total bola jadi 9

P(B|A) = 5/9

Sehingga Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola merah pada pengambilan kedua (tanpa pengembalian) adalah:

6/10 5/9 = 30 / 90 = 1/3

Soal No. 9

Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng berwarna hijau dan 5 kelereng berwarna kuning. Dari dalam kantong tersebut diambil satu buah kelereng berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang terambil kedua kelereng berwarna kuning jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian! 

Pembahasan

Seperti nomor 8.

Total kelereng mula-mula 15 buah.

Pengambilan pertama terambil kuning.

P(A) = 5/15 = 1/3

Pengambilan kedua terambil kuning

Kelereng kuning tersisa 4, jumlah kelereng total masih 14. 

P(B|A) = 4/14 = 2/7

Sehingga peluangnya adalah:

1/3 2/7 = 2/21

Soal No. 1

Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini:

a) 2 + 32 + 52

b) 53 + 33 3

c) 83 + 6 2 + 123 42

Pembahasan

a) 2 + 32 + 52 

= (1 + 3 + 5)2 = 92

b) 53 + 33 3

= (5 + 3 1)3 = 73

c) 83 + 6 2 + 123 42 

= 83 + 123 + 62 42 = (8 + 12)3 + (4 2)2 = 203 + 22

Soal No. 2

Hitung dan sederhanakan:

a) 2 + 4 + 8 + 16

b) 3 + 9 + 27

c) 22 + 28 + 232

Pembahasan

a) 2 + 4 + 8 + 16 

= 2 + 4 + 4 2 + 16 = 2 + 2 + 22 + 4 = 2 + 4 + 2 + 22 = 6 + 32 

b) 3 + 9 + 27

= 3 + 9 + 9 3 = 3 + 3 + 33 = 3 + 43

c) 22 + 28 + 232 

= 22 + 24 2 + 216 2 = 22 + 2 (2)2 + 2(4)2 = 22 + 42 + 82 = 142

Soal No. 3

Sederhanakan :

524 + 33(18 + 232)

Pembahasan

524 + 33(18 + 232)

= 54 6 + 33 18 + 33 . 232

=5.2 6 + 33 92 + 33 .2162

= 106 + 33 .32 + 33 . 2 .42

= 106 + 96 + 246 = 436

Soal No. 4

Sederhanakan:

(1 + 32) (4 50)

Pembahasan

(1 + 32) (4 50)

= 1 + 32 4 + 50

= 1 + 32 4 + 25 2

= 1 + 32 4 + 52

= 3  + 82 atau = 82 3

Soal No. 5

Sederhanakan bentuk berikut:

a) 5/3

b) 20/5

Pembahasan

a) 5/3

        5     3      5

_____ x ___ = ___ 3 

      3    3      3

b) 20/5

      20     5      20

_____ x ___ = _____ 5  = 4 

     5     5       5

Soal No. 6

Sederhanakan bentuk berikut:

a).

b).

Pembahasan

a).

a).

Catatan:

Untuk mempercepat perkalian, ingat kembali rumus:

(a + b)(a b) = a2  b2

sehingga 

(2 + 3)(2 3) = (2)2  (3)2 = 2 3 = 1

Soal No. 7

Sederhanakan bentuk berikut:

 

Pembahasan

Soal No. 8

Sederhanakan bentuk akar berikut:

(Untuk soal b, tanda plusnya diganti minus saja ya!!!!)

Pembahasan

Arahkan soal ke bentuk berikut:

dengan nilai a > dari nilai b

Sehingga:

= 22 5

Soal No. 9

Berapa hasilnya? 

 

Pembahasan

Dimisalkan dulu, kita namakan p saja 

 

Kuadratkan ruas kiri, kuadratkan ruas kanan. Yang ruas kiri jadi p kuadrat, yang ruas kanan jadi hilang akar yang paling depan. 

Diruas kanan terlihat bentuk 12 +…., dimana muncul lagi bentuk yang  persis dengan p yang kita misalkan tadi, jadi kasih nama p lagi juga. Terus susun yang bagus, jadi persamaan kuadrat, kemudian faktorkan seperti waktu kelas 2 atau 3 smp dulu. 

 

Jadi, hasilnya adalah 4.

Soal No. 10

Berapa hasilnya? 

 

Pembahasan

Seperti sebelumnya, misalkan sebagai p dulu 

 

Kuadratkan ruas kiri-kanan, kiri jadi p kuadrat, kanan hilang akar paling luar, setelah itu ketemu persamaan kuadrat, faktorkan: 

 

Jadi hasilnya: 

 

p = 0 tidak dipakai (tidak memenuhi).

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:

a) sin 75

b) cos 75

c) tan 105

Pembahasan 

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75 = sin (45 + 30)

= sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30

= 1/2 2 1/2 3 + 1/2 2 1/2

= 1/4 6 + 1/4 2 = 1/4 (6 + 2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B sin A sin B

cos 75 = cos (45 + 30)

= cos 45 cos 30 sin 45 sin 30

= 1/2 2 1/2 3 1/2 2 1/2

= 1/4 6 1/4 2 = 1/4 (6 2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105 = tan (60 + 45)

 

Soal No. 2

Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:

a) sin 15

b) cos 15

c) tan (3x 2y)

Pembahasan

a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A B) = sin A cos B cos A sin B

sin 15 = sin 45 30)

= sin 45 cos 30 cos 45 sin 30

= 1/2 2 1/2 3 1/2 2 1/2

= 1/4 6 1/4 2 = 1/4(6 2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B

cos 15 = cos (45 30)

= cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30

= 1/2 2 1/2 3 + 1/2 2 1/2

= 1/4 6 + 1/4 2 = 1/4(6 + 2)

c) Rumus selisih sudut untuk tan

Sehingga 

Soal No. 3

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:

A. sin (A + B)

B. sin (A B) 

Pembahasan

Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:

 

Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah  dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5

cos A = 3/5

sin B =12/13

cos B = 5/13

Periksa ulang,

  • Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = 3/5

  • Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

 

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan 

 

b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan 

 

Soal No. 4

Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B) 

Pembahasan 

Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya 

sin A = 3/5,  cos A = 4/5

sin B = 12/13,  cos B = 5/13

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut

 

Soal No. 5

Diketahui PQR dengan P dan Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R 

Pembahasan

Cek sin cos kedua sudut  P dan Q

 

sin P = 3/5,   cos P = 4/5

sin Q = 1/10, cos Q = 3/10

P + Q + R = 180 atau R = 180 – (P + Q)

cos R = cos (180 – (P + Q))  

ingat cos (180 – x) = – cos x

 

Soal No. 6

Jika tan = 1, tan = 1/3 dengan dan sudut lancip maka sin ( ) =….

A. 2/3 5

B. 1/5 5

C. 1/2

D. 2/5

E. 1/5

(UN 2007-2008)

Pembahasan

tan = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut: 

 

Dari gambar terlihat:

sin = 1/ 2

cos = 1/ 2

tan = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya: 

 

Diperoleh

sin = 1/10

cos = 3/10

Kembali ke soal, diminta sin ( ) =….

Dengan rumus selisih dua sudut:

 

Jadi sin ( ) = 1/5 5

Soal No. 7

Jika A + B = /3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A B) =….

A. 1/4

B. 1/2

C. 3/4

D. 1

E. 5/4

un hal 102

Pembahasan

Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B

Masukkan data soal

1/2 = 5/8 sin A sin B

sin A sin B = 5/8 1/2 = 1/8

Diminta cos (A B) =….

cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B

= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

Soal No. 8

ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka C = …..

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

E. 135 

Pembahasan

Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh

 

sin A = 3/5

cos A = 4/5

sin B = 1/52

cos B = 7/52

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180 atau bisa juga C = 180 (A + B)

Kembali ke soal, diminta C, kita cari sin C dulu:

sin C = sin [180 (A + B)]

sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 x) = sin x 

sin C = sin A cos B + cos A sin B

Sudut yang nilai sin nya 1/2 2 adalah 45

Soal-Soal Dasar

a) Tentukan nilai dari

                               32 x 23

b) Tentukan nilai dari

C. Tentukan nilai dari

d. Tentukan nilai dari

 

e. Tentukan nilai dari

 

f. Tentukan nilai dari

Pembahasan

a) 32 x 23 = 9 x 8 = 72

b) Alternatif cara perhitungan sebagai berikut

 

C. Alternatif cara menjawab sebagai berikut

 

d. Alternatif jawaban

 

e. Alternatif cara perhitungan

 

f. Alternatif cara perhitungan

 

Soal Menyederhanakan Pangkat

Sederhanakan bentuk akar dan pangkar berikut ini:

 

Pembahasan

 

Contoh lain pelajari disini tentang menyederhanakan bentuk akar.

Soal Terapan

Tentukan nilai p yang memenuhi persamaan berikut:

 

Pembahasan

Selanjutnya pelajari contoh-contoh berikut:

Soal No. 1

Jika a = 4, b = 3, dan c = 2, tentukan nilai dari: 

a) .  

b).  

Pembahasan

a) Masukkan angka yang diminta soal seperti berikut 

 

b) Ubah dulu bentuk pangkatnya menjadi pangkat yang positif biar lebih mudah, baru dimasuk angkanya.

Caranya membuat pangkat dari positif menjadi negatif atau dari negatif menjadi positif : 

Yang tadinya di atas, pindahkan ke bawah

Yang tadinya di bawah, pindahkan ke atas 

 

Sudah jadi pangkat positif, sehingga:

 

Soal No. 2

Ubah bentuk pangkatnya menjadi positif semua! 

 

Pembahasan

y dan z perlu dipindah, x biarkan saja karena sudah positif 

 

Soal No. 3

Ubah bentuk pangkatnya menjadi negatif semua! 

 

Pembahasan

Hanya x pangkat 5 yang harus dipindahkan, tadinya di atas, pindahkan ke bawah 

 

Soal No. 4

Bentuk sederhana dari

adalah….

A. (3ab)2

B. 3(ab)2

C. 9 (ab)2

D. 3/(ab)2

E. 9/(ab)2

(un mtk 010)

Pembahasan

Strategi:

Kalikan semua pangkat dengan 1 seperti permintaan soal, kemudian sederhanakan pangkat dari koefisien yang pada sama.

 

Soal No. 5

Bentuk sederhana dari

adalah….

A. 61/4

B. 63/4

C. 63/2

D. (2/3)3/4

E. (3/2)3/4

Pembahasan

Sifat yang digunakan adalah

axay = ax + y     dan

ax : ay = ax y.

 

Soal No. 6

Jika a = 2, x = 10, y = 5, dan z = 12 tentukan nilai dari 

 

Pembahasan

Perkalian dan pembagian bentuk pangkat 

 

Soal No. 7

Ditentukan nilai a = 9, b = 16 dan c = 36. Nilai 

 

adalah…

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

E. 18

Pembahasan

Bentuk pangkat dan akar 

 

Soal No. 8

Bentuk sederhana dari (1 + 32) (4 50) adalah…

A. 22 3

B. 22 + 5

C. 82 3

D. 82 + 3

E. 82 + 5 

Pembahasan

Hilangkan tanda kurungnya dulu, jika ada tanda minus di depan kurung, kalikan masuk, jadinya

(1 + 32) (4 50)

= 1 + 32 4 + 50

50 sama saja dengan 25 2 jadi sama dengan 52, tinggal disederhanakan:

= 1 + 32 4 + 52

= 1 4 + 32 + 52

= 3 + 82

= 82 3

Soal No. 9

Ubah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat! 

 

Pembahasan

Jadikan satu akar saja, kalikan seperti ini, baru ubah ke bentuk perpangkatan 

 

Soal No. 10

Nyatakan bentuk berikut dalam pangkat positif dan bentuk akar 

 

A. (x y) / xy

B. (y x) / xy

C. (x + y) / xy

D. xy(x + y)

E. xy(x y) 

(Dari Soal SPMB 2004)

Pembahasan

Ubah pangkat ke positif, dan pangkat 1/2 ke bentuk akar, lantas samakan penyebut bagian atas dulu: 

 

Sampai di sini sudah selesai, tapi di opsi jawaban belum terlihat, di modif lagi, kalikan sekawan. 

 

Soal No. 11

Bentuk sederhana dari (33 – 22)(23 – 2)=…..

A. 22 + 6

B. 14 + 6

C. 22 – 6

D. 22 – 76

E. 14 – 76

(Bentuk akar – un 2013)

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk akar, kalikan saja:

(33 – 22)(23 – 2)

= 18 – 36 – 46 + 4

= 22 – 76

Soal No. 12

Bentuk sederhana dari 

 

adalah…

A. 4 36 

B. 4 6

C. 4 + 6

D. 4 6

E. 4 + 6

Pembahasan

Merasionalkan bentuk akar, kalikan dengan sekawannya: 

 

Berikut dua soal UN 2014 tentang pangkat dan akar yang bisa dipelajari:

Soal No. 13

Bentuk sederhana dari 

 

adalah. 

 

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk pangkat 

 

Soal No. 14

Bentuk sederhana dari 

 

A. 163 811

B. 163 11

C. 163 + 11

D. 163 + 411

E. 163 + 811

Pembahasan

Menyederhanakan bentuk akar 

Soal No. 1

Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut: 

Tentukan A B

 

Pembahasan

Operasi pengurangan matriks: 

 

Soal No. 2

Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini, 

 

Tentukan 2A + B

Pembahasan

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan: 

 

Soal No. 3

Matriks P dan matriks Q sebagai berikut 

 

Tentukan matriks PQ

Pembahasan

Perkalian dua buah matriks 

 

Soal No. 4

Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini 

 

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan

Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

 

3a = 9 a = 3

2b = 10 b = 5

2x = 12 x = 6

  y = 6   

y = 2

Sehingga:

a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

Soal No. 5

Tentukan determinan dari matriks A berikut ini 

 

Pembahasan

Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2

det A = |A| = ad bc = (5)(2) (1)(3) = 10 + 3 = 13 

Soal No. 6

Diberikan sebuah matriks 

 

Tentukan invers dari matriks P

Pembahasan

Invers matriks 2 x 2 

 

Soal No. 7

Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini 

 

Pembahasan

Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut: 

 

Soal No. 8

Diketahui persamaan matriks

Nilai a + b + c + d =….

A. 7 

B. 5 

C. 1 

D. 3

E. 7 

Pembahasan

Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri, sementara kalikan dua matriks pada ruas kanan, terakhir gunakan kesamaan antara dua buah matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.

 

2 + a = 3 

a = 5

4 + b = 1

b = 3

d 1 = 4

d = 5

c 3 = 3

c = 6

Sehingga

a + b + c + d = 5 3 + 6 + 5 = 3

Soal No. 9

Diketahui matriks

 

Apabila B A = Ct = transpos matriks C, maka nilai x .y =….

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

E. 30

(UN 2007)

Pembahasan

Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B A adalah pengurangan matriks B oleh A 

 

Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:

y 4 = 1

y = 5

x + y 2 = 7

x + 5 2 = 7

x + 3 = 7

x = 4

x . y = (4)(5) = 20

Soal No. 10

Jika

maka x + y =….

A.  15/4

B.  9/4

C. 9/4

D. 15/4

E. 21/4

(Soal UMPTN Tahun 2000)

Pembahasan

Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu:

3x 2 = 7

3x = 7 + 2

3x = 9

x = 3

4x + 2y = 8

22(x + 2y) = 23

22x + 4y = 23

2x + 4y = 3

2(3) + 4y = 3

4y = 3 6

4y = 3

y =  3/4

Sehingga:

x + y = 3 + ( 3/4) = 2 1/4 = 9/4

Soal No. 11

Invers dari matriks A adalah A1.

Jika

tentukan matriks (A1)T

Pembahasan

Invers matriks dan tranpos sebuah matriks.

Misalkan:

 

Sehingga: 

 

Soal No. 12

Tentukan nilai x agar matrik 

merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki invers!

Pembahasan

Matriks yang tidak memiliki invers, disebut matriks singular. Determinan dari matriks singular sama dengan nol.

det P = ad bc = 0

(2)(x) (3)(5) = 0

2x 15 = 0

2x = 15

x = 15/2

Soal No. 13

Diketahui matriks

,

dan

Jika A = B, maka a + b + c =…. 

A. 7 

B. 5

C. 1

D. 5

E. 7

(UN Matematika Tahun 2010 P37 Matriks)

Pembahasan

Kesamaan dua matriks:

4a = 12

a = 3

  3a = 3b  

3a = 3b  

3(3) = 3b

9 = 3b

b = 3

3c = b

3c = 3

c =  1

a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7

Soal No. 14

Diketahui matriks

memenuhi AX = B, tentukan matriks X

Pembahasan

Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah

X = A1 B

Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan matriks B

Catatan:

AX = B maka X = A1 B

XA = B  maka X = B A1

Penggunaan rumus dasar integral trigonometri untuk penyelesaian soal, sinus, cosinus dan secan.

Soal-Soal:

Tentukan:

1) 5 cos x dx

2) 6 sin x dx

3) 7 sec2 x dx 

4) ( 8/cos 2 x ) dx

5) (10 cos x 9 sin x) dx

6) 2 cos x tan x dx

7) ( 4/1 sin 2 x ) dx

8) (16 16 sin2 x) dx

Teori Singkat

Cermati rumus-rumus dasar integral untuk fungsi-fungsi trigonometri berikut:


 

Pembahasan 

1) Dengan rumus (1), keluarkan angka 5 dari integral didapat hasil :

 

2) Keluarkan -6 dari integral, kemudian pergunakan rumus (2):

 

3) Gunakan rumus (3):

4) Ingat kembali bahwa cos x adalah kebalikan dari sec x, kemudian masuk ke pola (3):

5) Gabungan integral untuk sin x dan cos x:

6) tan x tidak ada pada pola kita di atas, ingat kembali bahwa

tan x = sin x / cos x

 

7) Ingat identitas trigonometri berikut :

sin2 x + cos 2 x = 1

Sehingga

1 – sin 2 x = cos 2 x dan cos x adalah kebalikan dari sec x

Soal No. 1

Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3. 

Pembahasan

Ada dua kejadian, namakan kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.

A = kejadian munculnya angka genap.

B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3.

Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu adalah:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

A = {2, 4, 6}

n(A) = 3

maka peluang kejadian A

P (A) = n (A) / n(S) = 3 / 6 

B = {4, 5, 6}

n(B) = 3 

maka peluang kejadian B

P (B) = n(B) / n(S) = 3 / 6 

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A B

A B = {4, 6}

n(A B) = 2

Sehingga peluang A B

P (A B) = n (A B) / n (S) = 2 / 6 

Rumus peluang kejadian "A atau B" 

P (A B) = P(A) + P(B) P(A B)

= 3/6 + 3/6 2/6 

= 4/6 = 2/3

Soal No. 2

Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah….

A. 2/36

B. 3/36

C. 4/36

D. 5/36

D. 6/36

Pembahasan

Dua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,

A = jumlah angka adalah 3

B = jumlah angka adalah 10

Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperoleh

A = {(1, 2), (2, 1)}

B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

n (A) = 2 P(A) = 2/36

n (B) = 3 P(B) = 3/36

Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A B) = 0

Sehingga peluang "A atau B" adalah

P (A B) = P(A) + P(B)

= 2/36 + 3/36 

= 5/36

Soal No. 3

Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah….

A. 4/5

B. 7/10

C. 3/6

D. 2/6

E. 1/10

Pembahasan

Jumlah semua bola yang ada dalam kantong adalah

4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu bola.

A = kejadian terambil bola merah.

B = kejadian terambil bola hitam.

Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:

P(A) = 4/10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:

P(B) = 3/10

Peluang terambil bola merah atau hitam:

P(AB) = P(A) + P(B)

= 4/10 + 3/10

= 7/10

Catatan:

Untuk

P (A B) = P(A) + P(B) 

Dinamakan kejadian saling asing atau saling lepas.

 

Soal No. 4

Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:

a) suka matematika dan fisika

b) suka matematika atau fisika

Pembahasan

A = kejadian yang terpilih suka matematika

B = kejadian yang terpilih suka fisika

P(A) = 10/30

P(B) = 15/30

a) suka matematika dan fisika

yang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anak

P(AB) = 5/30

b) suka matematika atau fisika

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 

= 10/30 + 15/30 5/30

= 20/30

Soal No. 5

Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah….

A. 1/40

B. 3/20

C. 3/8

D. 2/5

E. 31/40

Pembahasan

P(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.

Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalah

P(A) = 2/5

P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II. 

Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah 

P (B) = 3/8

Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah

P(AB) = P(A) P(B)

= 2/5 3/8

= 6/40

= 3/20

Penjelasan panjangnya sebagai berikut:

 

Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:

M1, M2, P1, P2, P3.

Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:

m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil) 

Menentukan Ruang sampelnya

Jumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:

M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II: 

 

S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),……………, (P3, p2), (P3, p3) }

n(S) = 40

A = terambil bola merah dari kotak I.

A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) } 

n(A) = 16

Sehingga P(A) = 16/40

B = terambil bola putih dari kotak II

B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}

n(B) = 15

Jadi P(B) = 15/40

Irisan antara A dan B (yang sama):

A B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3

n(A B ) = 6

Sehingga P(A B ) = 6/40 = 3/20

Catatan:

Untuk

P (A B) = P(A) P(B) 

Dinamakan kejadian saling bebas.

Soal No. 6

Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja. Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah…

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 2/3

E. 5/6

(Modifikasi ebtanas 1994)

Pembahasan

A = kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan dadu.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Diperoleh

n(S) = 6

n(A) = 1

Sehingga P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka pada pelemparan uang logam.

Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A, G} dengan A = angka, G = Gambar

n(S) = 2

n(B) = 1

Sehingga P(B) = 1/2

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam dengan demikian adalah

P(AB) = P(A) P(B) 

= 1/6 1/2 = 1/12

Soal No. 7

Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah….

A. 16/273

B. 26/273

C. 42/273

D. 48/273

E. 56/273

(Teori peluang – un 2006)

Pembahasan

10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk, artinya 8 yang bagus.

15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk, artinya 12 yang bagus.

 

A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A.

B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari keranjang B.

Menentukan peluang dari kejadian A

Pengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak cara (titik sampel)  sejumlah 

 

Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah 

 

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A 

 

Menentukan peluang dari kejadian B

Pengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak cara sejumlah 

 

Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah 

 

Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari keranjang B 

 

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B 

Soal No. 1

a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari

titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan

Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) 

 

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

 

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4) 

 

Soal No. 2

Disediakan suatu persamaan garis lurus

Y = 3x + 5

Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1) 

Pembahasan

Ada beberapa cara diantaranya:

Cara pertama:

Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:

x = x + 2 x = x 2 

y = y + 1 y = y 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal 

y = 3x + 5

(y 1 ) = 3(x 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y dan x ke y dan x lagi:

y 1 = 3x 6 + 5

y = 3x 6 + 5 + 1

y = 3x 

Cara kedua:

Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5

Misal: 

Titik A, untuk x = 0 y = 5 dapat titik A (0, 5) 

Titik B, untuk Y = 0 x =  5 /3 dapat titik B ( 5/3 , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)

A (0 + 2, 5 +1) = A (2, 6)

B (-5/3 + 2, 0 + 1) = A (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

 

Cara ketiga

Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = c

Translasi T (p, q)

Hasil :

ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.

y = 3x + 5 

atau

3x y = 5 

oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:

3x y = 5 + (3)(2) + ( 1)(1)

3x y = 5 + 6 1

3x y = 0

atau 

y = 3x

Soal No. 3

Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis x = 10

b) Terhadap garis y = 8 

Pembahasan

Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k

a) Terhadap garis x = 10

           x = h

(a, b) ———-> (2h a,  b)

           x = h

(3, 5) ———-> ( 2(10) 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8 

           y = k

(a, b) ———-> (a, 2k b)

            y = k

(3, 5) ———-> ( 3,  2(8) 5) = (3,  11)

Soal No. 4

Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis y = x

b) Terhadap garis y = x 

Pembahasan

a) Terhadap garis y = x

           y = x

(a, b) ———-> ( b, a)

           y = x

(3, 5) ———-> (5, 3) 

b) Terhadap garis y = x 

           y = x

(a, b) ———-> ( b, a)

            y = x

(3, 5) ———-> ( 5, 3) 

Soal No. 5

Titik P (62, 102) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45 menghasilkan titik P’. Tentukan koordinat dari titik P’.

Pembahasan

Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar  

 

Sehingga:

 

Catatan:

sudut positif berlawanan arah jarum jam

sudut negatif searah jarum jam

Soal No. 6

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah….

A. x + y 3 = 0

B. x y 3 = 0

C. x + y + 3 = 0

D. 3x + y + 1 = 0

E. x + 3y + 1 = 0

(UN Matematika Tahun 2010 P04)

Pembahasan

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa

y’ = y

y = y’

x’ = x + 2y

x’ = x + 2( y’)

x’ = x 2y’

x = x’ + 2y’ 

Jadi:

x = x’ + 2y’ 

y = y’

Masukkan ke persamaan awal

y = x + 1

( y’) = (x’ + 2y’ ) + 1

x’ + 3y’ + 1 = 0

Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

Soal No. 7

Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks 

  dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah….

A. (11, 6)

B. (6, 11)

C. (5, 11)

D. (11, 5)

E. (11, 6)

Pembahasan

Titik A, dengan transformasi matriks akan menghasilkan titik A’, yang koordinatnya: 

 

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A”, dimana titik A” koordinatnya akan menjadi (11, 6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X. 

 

Jadi A" koordinatnya adalah (11, 6) 

Soal No. 8

Lingkaran (x 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks  

dilanjutkan oleh matriks  

maka bayangan lingkaran itu adalah….

A. x2 + y2 + 6x 4x 12 = 0

B. x2 + y2  6x 4x 12 = 0

C. x2 + y2  4x 6x 12 = 0

D. x2 + y2 + 4x 6x 12 = 0

E. x2 + y2 + 4x + 6x 12 = 0

Pembahasan

(x 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, 3) dan berjari-jari r = 25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran. 

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, 3) oleh transformasi 

 akan menjadi P': 

 

Titik P’ ini oleh transformasi kedua 

 akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini: 

 

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi: 

oal No. 1

Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q 

a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom

b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan

Titik P berada pada koordinat (3, 1)

Titik Q berada pada koordinat (7,4)

a) PQ dalam bentuk vektor kolom 

 

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ 

 

Soal No. 2

Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut: 

 

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:

a) Koordinat titik S

b) Koordinat titik V

c) Vektor SV dalam bentuk kolom

d) SV dalam bentuk vektor satuan

e) Modulus atau panjang SV

Pembahasan

a) Koordinat titik S

x = 5

y = 0

z = 5

(5, 0, 5)

b) Koordinat titik V

x = 10

y = 10

z = 0

(10, 10, 0)

c) Vektor SV dalam bentuk kolom 

 

d) SV dalam bentuk vektor satuan

SV = 5i + 10j k

e) Modulus atau panjang SV 

 

Soal No. 3

Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:

a) |a + b|

b) |a b|

Pembahasan

a) |a + b|

Jumlah dua buah vektor 

 

b) |a b|

Selisih dua buah vektor 

 

Soal No. 4

Dua buah vektor masing-masing: 

p = 3i + 2j + k 

q = 2i 4 j + 5k 

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

Pembahasan

Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k 

 

Dengan rumus penjumlahan 

 

Soal No. 5

Diketahui vektor a = 2i 6j 3k dan b = 4i + 2j 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah..

A. 4/3

B. 8/9

C.

D. 3/8

E. 8/36

(Soal Ebtanas Tahun 2000)

Pembahasan

Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya: 

 

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c: 

Soal No. 6

Diketahui vektor a = 4i 2j + 2k dan vektor b = 2 i 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah…. 

A. i j + k

B. i 3j + 2k

C. i 4j + 4k

D. 2i j + k

E. 6i 8j + 6k

(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

Pembahasan

Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal). 

 

Soal No. 7

Besar sudut antara vektor a = 2i j + 3k dan b = i + 3j 2k adalah….

A. 1/8

B. 1/4

C. 1/3  

D. 1/2  

E. 2/3

(Soal Ebtanas 1988)

Pembahasan

Sudut antara dua buah vektor:

Soal No. 8

Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , 6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah….

A. 0

B. 1/4 

C. 1/2 

D. 3/4 

E.

(Soal Ebtanas 1989 – Vektor)

Pembahasan

Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:

u = AB = B A = (6 , 10 , 6) (4 , 7 , 0) = (2, 3, 6)  u = 2i + 3j 6k

v = AC = C A = (1 , 9 , 0) (4 , 7 , 0) = ( 3, 2, 0)  v = 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90 atau 1/2 

Soal No. 9

Diketahui

Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah….

A. 1/2

B. 1/2 2

C. 1/1414

D. 214

E. 7/214

Pembahasan

2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah 

Soal No. 10

Diberikan tiga buah vektor masing-masing:

a = 6p i + 2p j 8 k

b = 4 i + 8j + 10 k

c = 2 i + 3 j 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a  c adalah…..

A. 58 i 20 j 3k

B. 58 i 23 j 3k

C. 62 i 17 j 3k

D. 62 i 20 j 3k

E. 62 i 23 j 3k

Pembahasan

Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a  b = 0

(6p i + 2p j 8 k) (4 i + 8j + 10 k) = 0

24p + 16p 80 = 0

8p = 80

p = 10

Dengan demikian vektor a adalah 

a = 6p i + 2p j 8 k

a = 6( 10) i + 2( 10) j 8 k

a = 60 i 20 j 8 k

a  c = ( 60 i 20 j 8 k) ( 2 i + 3 j 5 k) 

a  c = 58 i 23 j 3k

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>